Chí-kvadrát test: princip, výpočet a interpretace

Chí-kvadrát test (χ²) je základní test pro kategoriální data – tam, kde nepočítáte průměry, ale četnosti: kolik pacientů onemocnělo, kolik respondentů odpovědělo „ano". Nejčastěji ověřuje souvislost dvou kategoriálních proměnných v kontingenční tabulce (test nezávislosti); druhou podobou je test dobré shody, který porovnává pozorované četnosti s teoretickým očekáváním. Oba se řídí pravidly testování hypotéz.

Využití chí-kvadrát testu

Klinický výzkum – souvisí výskyt komplikací s typem léčby?
Epidemiologie – liší se nemocnost kuřáků a nekuřáků?
Dotazníková šetření – odpovídají různé demografické skupiny odlišně?
Genetika – odpovídají pozorované štěpné poměry Mendelovým zákonům? (test dobré shody),
kontrola reprezentativity – odpovídá struktura vzorku známé struktuře populace?

Test porovnává pozorované četnosti $O_{i}$ s očekávanými $E_{i}$ , které by platily, kdyby spolu proměnné nesouvisely:

χ^{2} = \sum \frac{( O _{i} - E _{i} ) ^{2}}{E _{i}}

Kdy chí-kvadrát nepoužívat?

Test vyžaduje absolutní četnosti, nikdy procenta – přepočtem na procenta se ztrácí informace o velikosti vzorku. Nespolehlivý je při malých očekávaných četnostech (orientačně pod 5): tam patří Fisherův přesný test. Pro párová kategoriální data (tentýž pacient před a po léčbě) slouží McNemarův test. A pozor na interpretaci: χ² říká, že souvislost existuje, ne jak je silná – sílu vztahu vyjadřuje např. Cramérovo V, podobně jako korelace u číselných dat.

Příklad: kontingenční tabulka 2×2

Sledujete 200 osob – 100 očkovaných a 100 neočkovaných – a zaznamenáváte, kdo onemocněl:

	Onemocněli	Neonemocněli
Očkovaní	12	88
Neočkovaní	28	72

Celkem onemocnělo 40 osob z 200; kdyby očkování s nemocí nesouviselo, čekali bychom v každé stovce 20 nemocných a 80 zdravých. Dosazení pro první buňku: (12 − 20)² / 20 = 3,2 – a součet přes všechny čtyři buňky dá χ² = 8,0. Pro 1 stupeň volnosti tomu odpovídá p ≈ 0,005: nemocnost očkovaných (12 %) a neočkovaných (28 %) se statisticky významně liší.

Výpočet chí-kvadrát testu v Excelu

# očekávaná četnost buňky
=(součet_řádku * součet_sloupce) / celkový_počet

# p-hodnota testu (oblast pozorovaných a oblast očekávaných četností)
=CHISQ.TEST(B2:C3; B6:C7)

Výpočet chí-kvadrát testu v jazyce R

# kontingenční tabulka a test (bez Yatesovy korekce)
tab <- matrix(c(12, 88, 28, 72), nrow = 2, byrow = TRUE)
chisq.test(tab, correct = FALSE)

# malé očekávané četnosti → Fisherův přesný test
fisher.test(tab)

Kdy sáhnout po chí-kvadrátu, kdy po Fisherovi a jak výsledek reportovat do článku, učíme na kurzech Statistika I v R a Statistika v JASP.