Medián: definice, využití a výpočet

Medián je důležitým ukazatelem míry polohy. Vyjadřuje prostřední hodnotu ve vzestupně seřazeném souboru dat a dělí jej na dvě poloviny. Odděluje tedy 50 % spodních hodnot od 50 % horních hodnot. Z tohoto pohledu jde o typ kvantilu, někdy označovaný Q0,5.

Spolu s dalšími kvantily spočítáte medián u ordinálních proměnných a kvantitativních proměnných. U druhé skupiny je výpočet možný za předpokladu rovnoměrného rozložení dat a dostatečného počtu pozorování v každé kategorii (např. u školních známek, kde předpokládáme stejný rozdíl mezi jednotlivými stupni známkování).

U normálního rozdělení dat se hodnota mediánu rovná hodnotě aritmetického průměru a modu:

Na rozdíl od aritmetického průměru medián neovlivňují extrémní hodnoty. V jejich přítomnosti se hodnota mediánu, průměru a modu liší:

U lichého počtu hodnot se medián počítá jako prostřední hodnota seřazených dat (viz příklad níže):

x ~ = x_{\frac{n + 1}{2}}

V případě sudého počtu hodnot se medián rovná aritmetickému průměru dvou prostředních hodnot (viz příklad níže):

x ~ = \frac{1}{2} (x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1})

V obou případech vyjadřuje $n$ počet prvků v souboru dat, zatímco $x_{i}$ pořadí dané hodnoty při ve vzestupném seřazeném souboru hodnot. V praxi se medián nepočítá ručně, ale s pomocí funkcí statistických programů.

Využití mediánu

Medián je obzvláště užitečný ve výzkumech a analýzách, kde je důležité identifikovat střední hodnotu datové sady, která není ovlivněna extrémními hodnotami. To z něj činí ideální nástroj např. pro hodnocení:

příjmu v sociologických studiích, kde extrémní hodnoty (např. velmi vysoké příjmy) mohou zkreslit průměrné výsledky,
středových hodnot v environmentálních studiích, jako je kvalita vzduchu nebo vody, kde extrémní hodnoty způsobené neobvyklými událostmi (např. znečištění) nemusí odpovídat obvyklé kvalitě,
střední délky přežití v klinických studiích.

Kdy medián nepoužívat?

Přestože je medián užitečný v řadě aplikací, existují situace, kdy jeho použití není ideální. Jde zejména o případy, kdy:

je potřeba zohlednit všechny hodnoty v datové sadě, včetně extrémů (např. při studiu maximální možné efektivity nebo odolnosti materiálů),
data mají rovnoměrnou distribuci bez extrémních hodnot – střední hodnotu stejně dobře určí aritmetický průměr.
chybí některá data (vzorec bere v potaz pořadí hodnot).

Před využitím mediánu je nezbytné určit původ odlehlých hodnot ve vašich datech. Jejich přítomnost může totiž značit i chybu v měření. Použití mediánu by v takovém případě vedlo k mylné interpretaci získaných výsledků a celé vědecké studie.

Příklad výpočtu mediánu – lichý počet hodnot

Při zkoumání průměrné délky přežití pacientů po aplikaci experimentální léčby jste u jednotlivých dobrovolníků naměřili tyto hodnoty: 22, 3, 14, 8, 12, 10, 5, 15 a 17 měsíců.

Abychom medián nalezli, hodnoty vzestupně seřadíme:

Pořadí hodnoty	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Hodnota (měsíce)	3	5	8	10	12	14	15	17	22

Máme 9 hodnot, použijeme tedy vzorec pro výpočet mediánu při lichém počtu hodnot. Po dosazení do rovnice vychází:

x ~ = x_{(\frac{n + 1}{2})}

x ~ = x_{(\frac{9 + 1}{2})}

x ~ = x_{5}

x ~ = 12

Medián je 5. hodnota v seřazeném souboru dat. Mediánová délka přežití ( $x ~$ ) se tedy rovná 12 měsícům .

Pokud bychom u tohoto souboru spočítali aritmetický průměr, vyjde nám 11,8 měsíce — mírně jej stahují dolů krátké doby přežití na začátku souboru.

Příklad výpočtu mediánu – sudý počet hodnot

Máte za úkol vypočítat medián mzdy u následujícího (již seřazeného) souboru hodnot:

Pořadí hodnoty	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Měsíční příjem (tisíce Kč)	15	15	20	22	25	33	36	45	58	112

Při sudém počtu hodnot (10) dosadíme jejich počet do následujícího vzorce:

x ~ = \frac{x _{(\frac{n}{2})} + x _{(\frac{n}{2} + 1)}}{2}

x ~ = \frac{x _{(\frac{10}{2})} + x _{(\frac{10}{2} + 1)}}{2}

x ~ = \frac{x _{5} + x _{6}}{2}

x ~ = \frac{25 + 33}{2}

x ~ = \frac{58}{2}

x ~ = 29

Medián mzdy je tedy 29 000 Kč, zatímco její aritmetický průměr 38 100 Kč. Rozložení dat je zešikmené – průměr zvyšuje zejména poslední (extrémní) hodnota 112 000 Kč.

Výpočet mediánu v Excelu

# buňky A1 až A100 obsahují naměřené hodnoty

# funkce pro výpočet mediánu
=MEDIAN(A1:A100)

Výpočet mediánu v jazyce R

# naměřené hodnoty
data <- c(3, 5, 6, 7, 8)

# funkce pro výpočet mediánu
median(data)

Pro hromadný výpočet mediánu a dalších charakteristik popisné statistiky v jazyce R slouží příkaz summary(), resp. describe() – podrobnosti najdete zde.