Geometrický průměr: definice, využití a výpočet

Geometrický průměr je míra polohy, která vyjadřuje střední hodnotu v sadě vykazující zřetězené růstové charakteristiky (detailnější popis níže).

Počítá se jako n-tá odmocnina ze součinu všech čísel v sadě:

$$G={\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)}^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$$

Využití geometrického průměru

Geometrický průměr poskytuje relevantní výsledek v situacích, kde je třeba zohlednit relativní změny a procentuální růst.

Je vhodný pro datové sady, kde hodnoty vykazují exponenciální nebo logaritmický nárůst, resp. pokles. Jde např. o výpočet průměru:

• růstu populace,
• pH roztoku,
• farmakokinetických vlastností zkoumané sloučeniny,
• výnosu investic.

Geometrický průměr není použitelný pro datové sady s:

• nulovými hodnotami (jednotlivé hodnoty datové sady se mezi sebou násobí, proto při použití nulové hodnoty bude výsledný geometrický průměr také nulový),
• zápornými hodnotami (n-tá odmocnina záporného čísla v oboru reálných čísel neexistuje – v takové situaci geometrický průměr nevypočítáme).

Není vhodný ani pro data, která mají:

• mezi sebou lineární vztah (pro ty je lepší aritmetický či vážený průměr),
• charakter podílu, např. u poměrných veličin, jako je průměrná rychlost jízdy (poměr vzdálenosti k času) či průměrná životnost komponent zařízení (zde využijete harmonický průměr).

Příklad výpočtu geometrického průměru

Představte si, že zkoumáte pokles koncentrace experimentálního léku v krevní plazmě během jeho vylučování. Naměřili jste tyto hodnoty:

Čas po podání přípravku (hod)	Koncentrace léku (mg/l)
0	200
1	100
2	50
3	25
4	12,5
5	6,25

Po dosazení do rovnice pro geometrický průměr vychází:

$$G={\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)}^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$$ $$G=\sqrt[6]{200\times 100\times 50\times 25\times 12.5\times 6.25}$$ $$G=35.36\text{ mg/l}$$

Průměrná koncentrace přípravku ve sledovaném období je 35,36 mg/l.

Výpočet geometrického průměru v Excelu

# buňky A1 až A100 obsahují naměřené hodnoty

# funkce pro výpočet geometrického průměru
=GEOMEAN(A1:A100)

Výpočet geometrického průměru v jazyce R

Pro výpočet geometrického průměru v jazyce R je potřeba nejprve nainstalovat knihovnu psych.

# načtení knihovny
library(psych)

# naměřené hodnoty
data <- c(3, 5, 6, 7, 8)

# funkce pro výpočet geometrického průměru
geometric.mean(data)